Этими двумя экспериментами фактически описано взаимодействие заряженных частиц с фотонами, то есть с электромагнитным излучением.

Артур Комптон в 1923 году в экспериментах с рентгеновским излучением обнаружил, что при воздействии рентгеновского излучения на свободный электрон происходят следующие явления.
Схема экспериментальной установки довольно проста.

Рентгеновское излучение попадает на кристалл, в котором электроны связаны довольно слабо (практически их можно считать свободными) и рассеивается на этих электронах. Рассеянный фотон попадает на детектор, где и фиксируется в виде измененного излучения.

Энергия падающего фотона делится на части. Одна часть излучается электроном в виде фотона меньшей энергии, а вторая часть энергии уходит на кинетическую энергию электрона. Вторичный фотон излучается не строго по направлению падающего фотона, хотя и такое возможно, а под некоторым углом к этому направлению.

Примерно, так как изображено на рисунке, взятом из Википедии.

Такого же характера рисунками иллюстрируются и другие статьи по комптоновскому рассеянию. Падающий фотон и рассеянный фотон графически изображаются с одной частотой. И это не зря. Ведь существует еще и обратный комптоновский эффект, в котором рассеянный фотон обладает большей энергией, нежели энергия падающего фотона. Это зависит от качества электрона, на котором рассеивается фотон. Кроме этого рассеяние зависит еще и от частоты падающего электромагнитного поля. Если падающее поле высокоэнергичное (гамма и рентгеновское излучение), то его рассеяние сопровождается изменением его энергии. Это комптоновское рассеяние. Менее энергичные излучения (видимое, радио и другие) рассеиваются без изменения энергии и рассеиваются не только преимущественно вперед, а вообще рассеиваются в круговую.   Это комптоновское рассеяние.

 Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне описывается формулой Клейна – Нишины:

Где w частота падающей волны. Полное сечение томпсоновского рассеяния описывается формулой:Как утверждают знающие люди, если энергия

падающего фотона значительно меньше массы (энергии) электрона

то формула Клейна – Нишины сводится к классической формуле Томпсона. К сожалению, я не понимаю, как это происходит.
С другой стороны из второй формулы явно видно, что сечение рассеяния на протоне пренебрежительно мало по сравнению с сечением рассеяния на электроне (обратно пропорциально квадрату массы). Почему так, Вам возможно объяснят только тем, что электрон отталкиват фотон и его эффективное сечение больше, чем у протона, который если и не притягивает фотон, то хотя бы индефферентен к нему. 
Как видим с математической точки зрения, если не принимать во внимание обратный эффект, с эффектом Комптона все благополучно. А вот с физической точки зрения объяснение получается какое-то не полное. Возникают вопросы как общего плана, так и вопросы касающиеся конкретно опыта Комптона.
Что можно показать стороннему наблюдателю, присутствующему при эксперименте? Взять детектор фиксирующий две частоты с длинами волны λ и λ`. Сначала поместить детектор на пути луча до кристалла. Включить установку. Включить детектор на длину волны λ. Стрелочка прибора должна поползти вправо. Если регулируется мощность луча, то можно покачать мощность луча и показать, что детектор реагирует на это качание. Больше мощность потока фотонов, больше отклоняется стрелочка и наоборот. Дальше следует переключить детектор на длину волны λ` и убедится, что стрелочка прибора стоит на нуле, что будет при достаточной монохроматичности частоты с λ. Это значит, что в составе луча нет частоты соответствующей длине волны λ`.
Перенесем детектор на его законное место. Снова включим установку. Мы увидим, что детектор показывает наличие и того и другого излучения. Кроме того можно обнаружить, сдвигая детектор по углу ϴ, что интенсивность излучения носит пиковый характер. Помещая в установку различные кристаллы увидим, что при возрастании атомного номера рассеивателя интенсивность несмещенной линии возрастает, интенсивность смещенной линии падает. Наверное много еще каких-нибудь других закономерностей исследователи обнаружат в этих экспериментах и даже опишут их математически. Но пока экспериментатор не встанет на квантовую точку зрения он никогда не скажет Вам, почему так получается.  
Википедия пишет:
“Эффект Комптона является одним из доказательств справедливости корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц и подтверждает существование фотонов.”
Уважаемый, читатель, Вы находите здесь дуализм электрона? Из того что электрон изменил свою скорость и, возможно, направление движения, Вы готовы сделать заключение, что электрон это частица и волна одновременно? А эффект Комптона это вообще о чем? О рассеянии фотонов. Если нет фотонов, то нечего и рассеивать.
После того как включили установку, что пролетает через коллиматоры, фильтры и попадает на кристалл? Электромагнитная волна – будет ответ. Эта волна будет непрерывной или это будут  куски электромагнитной волны? Третьего не дано.
Допустим, что волна в луче непрерывная. Она попадает в кристалле на электрон и начинает с ним взаимодействие, которое заключается в раскачивании электрона.  Как уж происходит раскачивание, в продольном, поперечном или каком-нибудь другом промежуточным направлении, мы точно не знаем. Важно то, что в результате этого раскачивания электрон излучает новый фотон с другой длиной волны. Как этот новый фотон получился? Как-то деформировался падающий фотон в новый или падающий фотон исчез и возник новый?
В этом опыте, как и многих других, есть все, кроме времени. Мы сейчас предположили, что фотон бесконечен, естественно в пределах опыта. Спрашивается, сколько времени он будет взаимодействовать с электроном? После контакта первой волны фотона и электрона, последний начинает, по принятому сейчас мнению, колебаться. Сколько волн будет участвовать в колебательном процессе? Ведь когда-никогда, но фотон и электрон должны будут разлететься. Что произойдет дальше?
Если электрон только деформировал фотон, то мы получим какой-то комбинированный фотон. Одна его часть будет с одной длиной волны, а другая часть будет обладать другой длиной волны. Это вроде в природе не наблюдается.
Если падающий фотон поглощается, то поглощается только его часть, по той же причине расхождения путей фотонов и электрона. А куда девается оставшаяся часть, которая тоже бесконечная? Мы ее должны обнаружить при угле ϴ = 0. Хотя неизвестно как отличить урезанный фотон, от исходного.
В общем, предположение о бесконечности фотона какое-то неудовлетворительное, поэтому попытаемся представить фотон в виде конечной конструкции, например, в виде солитона (конечное число колебаний). Но тут сразу же возникает вопрос: а сколько колебаний должно быть в этом солитоне. В общем, если оперировать с общепринятой моделью фотона, то возникают определенные трудности.
Уже в самом начале описания опыта предполагается, что рассеяние Комптона осуществляется на свободных электронах. Точнее на почти свободных электронах, то есть электронах, которые связаны в атоме, но очень слабой связью. Посмотрим на таблицу, позаимствованную у независимого исследователя Гришаева. Это типичные спектры при наблюдениях комптоновского рассеяния на различных веществах.

 Как видим, рассеяние происходит, как на металлах, так и не металлах. P– это первичное излучение, а M – это рассеянное (модифицированное) излучение. От лития до меди интенсивность рассеянного излучения падает с возрастанием атомного номера вещества. А для серебра этого излучения вообще нет. Зеркало и не должно искажать цветовой гаммы изображения, оно просто отражает падающий на него свет. Но ведь серебро хороший проводник электрического тока, то есть в нем достаточно много свободных электронов и надо полагать, немало слабо связанных электронов. Что эти электроны плохо раскачиваются первичным излучением и поэтому не генерируют модифицированное излучение? Чем эти электроны хуже электронов меди или алюминия? Ни чем. А в не металлах свободных или слабо связанных  электронов и вовсе нелегко отыскать. Приложите напряжение к кремнию, ток будет вовсе не такой как в серебре.
Из этого можно сделать вывод, что в процессе рассеяния участвует не только электрон, но и другие элементы атома. К сожалению, у современной науки нет приемлемой модели атома, то и возникают некоторые недоразумения. Если исходить  из модели атома предложенной в статье “Устройство атома”, то все недоразумения снимаются.
В этом случае рассеянное излучение представляется, как вынужденное излучение (статья “Вынужденное излучение”), то есть это излучение обменных фотонов. Падающий фотон провоцирует излучение обменного фотона, который может быть как большей, так и меньшей энергии, чем энергия падающего фотона. По сути, это лазерное излучение. Самый первый лазер – это рубиновый кубик. Две противоположные грани зеркальные и в одной посеребренной грани есть маленький, не посеребренный кружочек. Вокруг четырех остальных граней обвита лампа, излучающая зеленый свет. Вот и все устройство. Когда зажигается лампа зеленого цвета, из прозрачного кружечка грани появляется лучик красного цвета. Как зеленый цвет превратился в красный? Можно, конечно, говорить, что зеленые фотоны раскачали электроны кристалла и заставили их излучать красные фотоны. Точь в точь как у Комптона. Но в это как-то не верится.
А почему у Томпсона не изменяется длина волны? Что другие частоты не раскачивают электроны и те, соответственно, не излучают другие частоты? Или раскачивание все-таки идет, но излучаются только те частоты, которые являются первичными? Так, а почему вторичное излучение в этом случае имеет почти круговую диаграмму рассеяния?
А все становится понятным, если признать, что у Комптона, как и у лазера, вынужденное излучение, а это уже обменные фотоны ядра. Без ядра, то есть, не будучи в составе атома, данный вторичный фотон электрону просто неоткуда взять. В случае томпсоновского рассеяния электрон атома просто ретранслирует фотон, как и в случае отражения или распространения света. Часть падающего излучения у Комптона тоже просто ретранслируется и даже тот фотон, что вынуждает излучиться обменный фотон, тоже ретранслируется.  А, чтобы понять, почему томпсоновское рассеяние обладает не ярко выраженной направленностью, следует прочесть статью  “Дисперсия в квантовом представлении”.