В предыдущей части в моделях числа 16 объединяющим началом является сложение и вычитание. Эти операторы могут выполнить функции всех других операторов. А что может быть объединяющим, точнее необходимо для объединения, 5 моделей теории струн?

По мнению физиков – это многомерность пространства. Брайан в главе 8 рассказывает нам, что думают ученые по поводу этого явления.

Иллюзия привычного

Здесь рассказывается, что мы привыкли к трехмерному пространству, где всего 3 измерения. Но оказывается количество измерений больше.

Работы Эйнштейна показали нам, что время может рассматриваться как ещё одно измерение (измерение «будущее-прошлое»), что увеличивает общее число измерений до четырёх (три пространственных и одно временно́е).

К счастью и это не предел количества измерений:

… в 1919 г. малоизвестный польский математик Теодор Калуца из Кёнигсбергского университета дерзнул бросить вызов очевидному — он предположил, что в действительности Вселенная может иметь не три измерения, число измерений может быть больше.

Хотя потребовалось некоторое время на то, чтобы предположение Калуцы получило общее признание, оно привело к революции в формулировке физических законов.

Идея Калуцы и уточнение Клейна

В мире так уж повелось, что как только кто-то высказывает здравую мысль, находится масса ученых, которые умудряются эту мысль превратить в чушь. Так, например, поступили Бор и Шредингер с устройством атома. Здесь тоже делается такая попытка. Брайан иллюстрирует ее на садовом шланге и муравье. Для муравья, который находится на шланге, два измерения длина шланга и его обхват, а для наблюдателя, который находится далеко от шланга, существует только одно измерение – длина, другого измерения он просто не видит. С этого делается вывод, что измерение выше трех должно быть маленьким, поэтому мы его и не видим.

Этот пример (со шлангом) подчёркивает неочевидную и важную особенность пространственных измерений: они могут быть двух видов. Они могут быть просторными, протяжёнными и, вследствие этого, доступными непосредственному наблюдению, но они также могут быть маленькими, скрученными и гораздо менее поддающимися обнаружению.

Эту же не совсем точную мысль уточняет шведский математик:

Ответ, который в неявной форме содержится в работе Калуцы, и который позднее был выражен в явном виде и уточнён шведским математиком Оскаром Клейном в 1926 г., состоит в том, что структура пространства нашей Вселенной может содержать как протяжённые, так и свёрнутые измерения.

Жаль, что Клейн приписывает это Калуце. Калуца наверное знал о широте и долготе, а вот в математике Клейна этих понятий очевидно нет. (О многомерности пространства на данном сайте есть статья). Конечно, движение электрона в атоме происходит по свёрнутому (относительно нашего макромира) измерению, но Земля движется вокруг Солнца относительно нас не по маленькому измерению. Как пишет Брайан:

… циклическое измерение представляет собой новое измерение, которое существует в каждой точке пространства обычных измерений, наряду с измерениями вверх-вниз, влево-вправо и вперёд-назад, которые также существуют в каждой точке. Это новое и независимое направление, в котором мог бы двигаться муравей, если бы он был достаточно мал. Чтобы определить пространственное положение такого микроскопического муравья, нам потребуется указать, где он находится в обычных пространственных измерениях (представленных сеткой), а также где он расположен на циклическом измерении. Для представления информации о расположении в пространстве потребуется четыре числа; если добавить время, пространственно-временная информация потребует пяти параметров, на один больше, чем мы привыкли думать.

Как видите здесь какая-то путаница. Если мы определили пространственное положение муравья в обычных пространственных координатах, то зачем еще какое-то уточнение? А если мы определили координаты циклического измерения, то в данном случае требуется уточнение расположения муравья. Очевидно по этой причине математики и стремятся уменьшить циклические измерения до минимума, то есть пределов возможностей измерять координаты или возможности маскировать координаты в флуктуациях.

В 1926 г. Клейн объединил первоначальное предположение Калуцы с некоторыми идеями бурно развивавшейся квантовой механики. Его расчёты показали, что дополнительное циклическое измерение по размерам сопоставимо с планковской длиной.

А что мы имеем на самом деле. Каждое новое измерение – это новый мир, не наблюдаемый из мира с меньшим количеством измерений.

1. Наблюдатель одномерного мира видит (назад-вперед) на своей координате объект, где бы он не находился, если его не закрывает другой объект. Но вот наблюдаемый объект соскользнул с этой координаты в сторону. Одномерный наблюдатель никогда не увидит этот объект.
2. А наблюдатель, обладающий способностью видеть в двух измерениях (назад-вперед и влево-вправо), может увидеть исчезнувший объект. Ему достаточно устремить свой взгляд вправо или влево и двигаться по начальной координате, и он где-то обнаружит данный объект. Если объект будет двигаться перпендикулярно исходной координате или стоять на месте, то объект будет все время в поле зрения такого наблюдателя. Но если вдруг объект покинет двухмерную плоскость, он уйдет в другое измерение и будет потерян для данного наблюдателя.
3. Но если наблюдатель будет обладать свойством видеть в трех измерения (назад-вперед, влево-вправо и вверх-вниз), то он тоже может увидеть данный объект. И тоже сможет видеть его все время, если он движется только перпендикулярно плоскости или находится в неподвижном состоянии.

А где же находится четвертая, не представляемая координата? Только почему четвертая? Для одномерного наблюдателя эта координата будет второй. Как только объект с одномерной координаты передвинулся в любом другом направлении, не совпадающем с данной координатой, он перешел в другое измерение, которое не наблюдаемо для одномерного наблюдателя.

Но этот объект, как мы видели в пункте 2, можно обнаружить в двухмерном пространстве. И то мы будем наблюдать за ним не всегда. Если объект движется под углом к координатам, то мы его в данной системе координат видеть не будем. Он может появляться в данной ИСО, как временный объект. Время наблюдения будет зависеть от размеров объекта и его скорости. Примерно, как затмение Солнца. Конечно, если объект движется прямолинейно, то мы можем развернуть нашу ИСО так, что одна из координат будет направлена по направлению движения объекта, и мы будем наблюдать объект постоянно. Но дело в том, что это уже другая система координат и мы потеряем объекты предыдущей системы.

Не надо думать, что если в нашей начальной ИСО объект двинулся под углом к координате, то стоит нам повернуть на определенный угол наш измерительный инструмент, и мы будем наблюдать этот объект. Математика кичится своей строгостью, поэтому в двухмерном мире мы можем производить все действия строго вперед-назад и вправо-влево, остальное запрещено. Переходите в другую систему координат и уже оттуда сможете наблюдать за требуемым объектом.

Если же в двухмерном пространстве объект начал двигаться по окружности, то из неподвижной системы координат, эту координату мы не сможем наблюдать постоянно вообще. Чтобы мы могли его наблюдать нашу ИСО надо завращать, при условии, что начало нашей ИСО будет внутри координаты движения объекта, или придать нашей ИСО колебательные движения, если центр нашей ИСО находится вне траектории движения объекта.

Абсолютно такое же положение и с обычным трехмерным пространством. Все циклические измерения, независимо от их размера, не наблюдаемые в полной мере в трехмерном пространстве. Эти измерения могут пересекать наши обычные координаты и наблюдаться как некие неопознанные объекты. И таких циклических измерений существует много.

Из одного циклического измерения мы не сможем видеть не только привычные прямоугольные координаты (по сути это окружности с бесконечным радиусом), но и другие циклические координаты. Такие циклические координаты могут располагаться под разными углами, и времена их циклов могут быть различными.

Вообще в природе почти невозможно найти движения в прямоугольных координатах. Это в основном рукотворные изделия в  виде координатно-расточных станков, все возможных набивочных станков и т.д. Ни человек, ни кот не будут ходить по комнате вдоль стенок, а будут двигаться и по диагонали, и по дуге, и как заблагорассудится.  В природе циклическое движение самое распространенное.

Все электроны в атомах движутся по определенным замкнутым путям. Это движение осуществляется далеко не по окружности, но это, как правило, циклическое движение и пространственные размеры этих движений на много больше планковского размера.

Ну почему же мы трехмерное пространство представляем, а четырехмерное нет? Потому что мы трехмерные координаты видим, точнее не их самих видим, хотя можно их видеть в виде каких-то палок или линий нарисованных на бумаге, а видим движение или нахождение объектов на этих направлениях. Надо помнить, что в трехмерном пространстве мы можем оперировать только величинами x, y и z, а R это результат вычислений. В направлении R мы смотреть не можем. И видим мы эти объекты, только благодаря тому, что свет распространяется только прямо. Как только объект начинает двигаться по окружности, он все время уходит из нашего поля зрения. Если бы свет обладал свойством кругового движения, то мы видели бы объект постоянно на циклических измерениях, но не видели бы его на прямоугольных координатах. И с циклическими координатами мы могли бы работать так же, как и с прямоугольными или косоугольными. Зафиксировав три соответствующих взаимно перпендикулярные окружности можно с любой точки пространства опускать “перпендикуляры” (соответствующие куски окружностей) на координатные окружности и таким образом однозначно определять криволинейное R. Возможно, что Лобачевский имел в виду именно такие координатные системы.

Но невидимыми циклические координаты становятся не только из-за свойств света распространятся прямо, но и еще по одной причине. Может быть так, что две циклические координаты одинаковые по размеру и одинаково ориентированные будут невидимые друг для друга. Это в том случае, когда у них разные скоростные режимы. Если объекты движутся с различными скоростями, то они излучают и поглощают фотоны различной мощности и окажется так, что рабочие фотоны для одной скоростной зоны будут не рабочими для другой зоны. То есть мир под одним горбом интенсивности излучения абсолютно черного тела, будет невидим из мира под другим горбом излучения соответственно абсолютно черного тела другого мира. Хотя может быть и так, что невидимые друг другу циклические координаты могут существовать под одним горбом излучения АБЧ. С частотой, например, зеленого цвета могут излучаться фотоны различной энергии, даже гравитационные.

Можно ли чем подтвердить невидимость различных циклических измерений? Да. При охлаждении все тела сокращаются, точнее – уменьшаются в объеме (статья: изменение размеров физических тел). Электроны атомов излучают фотоны, переходят в другой скоростной режим, иначе на другие уровни. Это, например, происходит в холодильнике. Продукты не портятся или, скажем, портятся медленней. Так происходит потому, что бактерии, которые портят продукты, не вступают в реакцию с молекулами продуктов. Охлажденные продукты генерируют фотоны другой энергии, нежели не охлажденные, и эти фотоны не понимают бактерии и поэтому не движутся к молекулам продуктов. Можно сказать, что бактерии в данном случае не видят продукты. Мы же видим эти продукты потому, что видим отраженные фотоны, а не фотоны излучаемые продуктами.

Циклические и прямоугольные координаты для природы совершенно равноправны. Электрон, движущийся в неподвижном атоме по круговой орбите, обладает теми же параметрами (масса, заряд и др.) что и свободный электрон, движущийся прямо, если они обладают одинаковой скоростью. Единственное различие только в том, что в атоме параметры электрона это средние величины из-за того, что электрон обменивается с ядром обменным фотоном, то увеличивая, то уменьшая величины параметров.

Из этого длинного отступления можно сделать вывод, что циклические координаты существуют, и они никак не ограничены размерами. 

Взад и вперёд по Садовому шлангу

В этом разделе Брайан пытается наглядно представить Вселенную, имеющую более трёх пространственных измерений. Но, кажется, все это выглядит не особо убедительно, ибо наряду с направлениями вперед-назад, влево-вправо и вниз-вверх или по часовой стрелке-против часовой стрелки он все-таки смотрит еще и наискосок. А это противоречит не только логике, но и математике.

Объединение в высших измерениях

И так, что же предложил Калуца?

Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности для привычного случая Вселенной с тремя пространственными и одним временным измерением. Однако математический формализм его теории можно непосредственно обобщить и выписать аналогичные уравнения для Вселенной с дополнительными пространственными измерениями. Калуца выполнил математический анализ и в явном виде выписал новые уравнения при «умеренном» предположении об одном дополнительном пространственном измерении.

Он обнаружил, что в этой пересмотренной формулировке уравнения, относящиеся к трём обычным измерениям, по существу совпадают с уравнениями Эйнштейна. Но благодаря тому, что он включил дополнительное пространственное измерение, Калуца, как и следовало ожидать, получил новые уравнения в дополнение к тем, которые первоначально вывел Эйнштейн. Изучив эти дополнительные уравнения, связанные с новым измерением, Калуца обнаружил нечто удивительное. Оказалось, что дополнительные уравнения представляют собой не что иное, как полученные Максвеллом в 1860-х гг. уравнения, описывающие электромагнитное взаимодействие! Добавив ещё одно пространственное измерение, Калуца объединил теорию гравитации Эйнштейна с максвелловской теорией электромагнитного поля.

Как видите Калуца уже в 1919 году смог объединить два взаимодействия без привлечения высоких температур, планковских расстояний и даже струн. Я не знаю, как он это сделал в самом деле, но возможно он пошел таким путем. У Эйнштейна теория гравитации описывается уравнением:

Эйнштейн изменения кривизны пространства-времени и напряжений в этом пространстве-времени представил тензорами. Это четырех мерное пространство-время. Ничто не мешает такими же тензорами описать и пяти мерное пространство. Только в этом случае тензора будут на один ранг выше. А поскольку компоненты тензоров как обычно представляются какими-нибудь гармоническими функциями, то и получилось так, что при увеличении длины волны тензора Калуцы вырождаются в тензора Эйнштейна, а при уменьшение длины волны можно получить уравнения Макcвела. Примерно, как уравнения Лоренца при уменьшении скорости вырождаются в уравнения Ньютона, а при увеличении скорости стремятся в бесконечность. Но, увы, это только мое предположение.

До появления гипотезы Калуцы гравитация и электромагнетизм рассматривались как два отдельных вида взаимодействия; ничто не указывало на то, что между ними может существовать какая-либо связь. Однако, дерзнув предположить, что наша Вселенная имеет дополнительное пространственное измерение, Калуца обнаружил, что в действительности они глубоко связаны. Его теория утверждает, что и гравитация, и магнетизм связаны с волнами в структуре пространства. Гравитация переносится волнами, распространяющимися в нашем обычном трёхмерном пространстве, тогда как электромагнетизм переносится волнами, использующими новое, свёрнутое измерение.

О гравитационных волнах нам до сих пор ничего не известно, несмотря даже на усилия всех причастных к работе на интерферометре LIGO. А электромагнитные волны генерируем, измеряем и используем, не подозревая, что они как-то связаны со свернутым измерением. Волну, движущуюся по свернутому измерению можно хорошо наблюдать, например, в магнетроне. К сожалению, сначала работу Калуцы ожидали неприятности.

Хотя идея была прекрасной, последующий детальный анализ гипотезы Калуцы, дополненной Клейном, показал, что она находится в серьёзном противоречии с экспериментальными данными. Простейшие попытки включить в теорию электрон приводили к предсказанию отношения его массы к заряду, которое существенно отличалось от измеренных значений. Поскольку не было видно способов разрешить эту проблему, многие физики потеряли интерес к идее Калуцы. Эйнштейн и ряд других учёных продолжали исследовать возможности использования дополнительных измерений, но тем не менее это направление вскоре оказалось на периферии теоретической физики.

Но ученым надо чем-то заниматься и они разрабатывали теоретические основы стандартной модели. К началу 1970 годов модель была почти закончена, и ее венцом стало объединение трех взаимодействий (электромагнитного, слабого и сильного) одной математической структурой. Как мы видели в части 6, объединение случилось и при температуре 10²⁸К, и при расстояниях планковской длины. Выбирай по вкусу или объединяй их. Но, в это объединение никак не хотело входить гравитационное взаимодействие из-за противоречия между общей теорией относительности и квантовой механикой. Вот тут-то и вспомнилась теория Калуцы-Клейна.

Современное состояние теории Калуцы–Клейна

К моменту реабилитации Калуцы ученые открыли сильное и слабое взаимодействия, о которых ничего не знал Калуца. Можно предположить, что если бы он знал об этом, то он бы ввел некоторые коэффициенты в свои уравнения и объединил бы все взаимодействия под одними формулами. Строгая математика допускает такие трюки. Эйнштейн ввел в свои формулы космологическую постоянную (Λ) и вместо расширяющейся Вселенной получил постоянную Вселенную. Наверное, если бы потребовалось, он бы модифицировал свои формулы под сжимающуюся Вселенную.

Почему так обошлись с Калуцой, Брайан объясняет так:

Многие физики стали считать, что первоначальное предположение Калуцы потерпело неудачу из-за того, что он не знал об этих других взаимодействиях и был поэтому слишком консервативен в пересмотре структуры пространства. Дополнительные взаимодействия требуют дополнительных измерений.

Четырех пространственных измерений оказалось мало, чтобы объединить все четыре взаимодействия. Но то, из-за чего (попытки включить в теорию электрон) была забракована его теория изначально, оказалось не верным. И теперь ему в упрек ставилось другое:

Было показано, что хотя одно новое циклическое измерение и способно решить задачу объединения общей теории относительности и электромагнетизма, оно является недостаточным.

Недостаточным для чего? Наверное, для объединения всех взаимодействий, ибо объединение ОТО и электромагнетизма четырьмя измерениями решается.  Ученым понадобились еще дополнительные измерения. Эти измерения представлялись в виде шара, тора или любых других форм и в любых количествах. Что верно, но выдвигались требования, чтобы эти измерения имели пространственные размеры, недоступные нашим измерениям. А это не верно.

Количество теорий, описывающих многомерность, возникло много. Были и теории, которые включали суперсимметрию. Наличие суперпартнёров позволяло сгладить флуктуации и примирить общую теорию относительности и квантовую механику. Но все же оказалось

… что трудно разработать единую, непротиворечивую теорию с высшими размерностями, объединяющую все свойства взаимодействий и материи.

Постепенно становилось ясно, что хотя отдельные части объединённой теории начинают занимать свои места, однако ключевое звено, способное связать их в единое целое способом, не противоречащим квантовой механике, всё ещё отсутствовало. В 1984 г. это недостающее звено — теория струн — ярко вышло на сцену и заняло на ней центральное место.

Далее и пойдет речь, как струны объединили все взаимодействия.