Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

Изменение размеров тел. Теория относительности.

В статье “К электродинамике движущихся тел” Эйнштейн рассказывает об изменение размеров тел при их движении. Я хочу попросить о помощи кого-нибудь из математиков разобраться в данной работе Эйнштейна.

И то не во всей работе, а только в ее части. А именно понять, как получился данный релятивистский коэффициент. Я думаю, что для математика это простая задача.

Дело в том, что Эйнштейн для теории преобразования координат и времени рассматривал удаляющиеся системы и у него начальные данные для уравнений получились такие: скорость света по осям Z и Y в движущейся системе, видимая неподвижным наблюдателем, была равна  , а по оси X – равна V-v. Но в силу однородности пространства, о чем, пишет сам Эйнштейн, по крайней мере в этой же работе, с телом должно происходить одно и то же, не зависимо от того, в каком направлении оно движется. И вот возникает вопрос, что будет видеть неподвижный наблюдатель, если он будет видеть одновременно два тела, движущиеся навстречу друг другу. Одно тело, допустим стержень, будет приближаться к наблюдателю, а другой стержень удаляться. На практике, глядя вдоль рельсов, на два встречных поезда, мы видим, что удаляющийся поезд уменьшается в объеме, а не только в длине, а встречный, напротив, увеличивается в объеме. Конечно это аналогия, но возможно то же произойдет в теории относительности. Я выписываю два почти одинаковых текста: один текст Эйнштейна (слева) с его начальными данными и справа текст, который должен быть при допущении сближения двух систем. Где мог я в силу своих способностей скорректировал текст Эйнштейна к новым исходным данным, но не везде. Не хватает знаний. Ну, например, откуда появилась неизвестная функция а, да еще и зависящая от скорости? Я возможно что-то не так скорректировал. Там, где я что-то не понимаю, я вставляю свой текст.

Если решение задачи будет такое, как получил Эйнштейн, то это укрепит его позицию и его будут меньше ругать. Если же такое решение невозможно осуществить или оно даст другие результаты, то специальную теорию относительности надо как-то модифицировать. Но это уже будет не голословное обвинение Эйнштейна в не точности СТО, а математически доказанное, чему многие поклоняются. 

§ 3. Теория преобразования координат и времени

§ 3. Теория преобразования координат и времени

от покоящейся системы к системе, равномерно

от покоящейся системы к системе, равномерно

прямолинейно движущейся относительно первой

прямолинейно движущейся относительно первой

Пусть в «покоящемся» пространстве даны две

Пусть в «покоящемся» пространстве даны две

координатные системы, каждая с тремя взаимно-

координатные системы, каждая с тремя взаимно-

перпендикулярными осями, выходящими из одной

перпендикулярными осями, выходящими из одной

точки.

точки.

Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z

Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z

соответственно параллельны. Пусть каждая система

соответственно параллельны. Пусть каждая система

снабжена масштабом и некоторым числом часов, и

снабжена масштабом и некоторым числом часов, и

пусть оба масштаба и все часы в обеих системах в

пусть оба масштаба и все часы в обеих системах в

точности одинаковы. Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении убывающих значений x другой, покоящейся

точности одинаковы. Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении возрастающих значений x другой, покоящейся

системы (K) эта скорость передается также

системы (K) эта скорость передается также

координатным осям, а также соответствующим

координатным осям, а также соответствующим

масштабам и часам.

масштабам и часам.

Мы имеем право сообщать скорость в любом направлении. Поезда могут ездить не только из Москвы в Тверь, но и наоборот: из Твери в Москву.

Тогда каждому моменту

Тогда каждому моменту

времени t покоящейся системы (K) соответствует

времени t покоящейся системы (K) соответствует

определенное положение осей движущейся системы,

определенное положение осей движущейся системы,

и мы из соображений симметрия вправе допустить, что движение системы k может быть таким, что оси движущейся системы в момент времени t (через всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы.

и мы из соображений симметрия вправе допустить, что движение системы k может быть таким, что оси движущейся системы в момент времени t (через всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы.

Представим себе теперь, что пространство

размечено как в покоящейся системе K посредством

покоящегося в ней масштаба, так и в движущейся

системе k посредством движущегося с ней масштаба, и что, таким образом, получены координаты x, y, z и соответственно ξ, η, ζ.

Представим себе теперь, что пространство

размечено как в покоящейся системе K посредством

покоящегося в ней масштаба, так и в движущейся

системе k посредством движущегося с ней масштаба, и что, таким образом, получены координаты x, y, z и соответственно ξ, η, ζ.

Пусть посредством покоящихся часов, находящихся в покоящейся системе, и с помощью световых сигналов указанным в §1 способом определяется время t покоящейся системы для всех тех точек последней, в которых находятся часы.

Пусть посредством покоящихся часов, находящихся в покоящейся системе, и с помощью световых сигналов указанным в §1 способом определяется время t покоящейся системы для всех тех точек последней, в которых находятся часы.

Пусть далее таким же образом определяется время τ движущейся системы для всех точек этой системы, в которых находятся покоящиеся относительно последней часы, указанным в §1 способом световых сигналов между точками, в которых эти часы находятся.

Пусть далее таким же образом определяется время τ движущейся системы для всех точек этой системы, в которых находятся покоящиеся относительно последней часы, указанным в §1 способом световых сигналов между точками, в которых эти часы находятся. 

Каждому набору значений x, y, z, t, которые

полностью определяют место и время событий в

покоящейся системе, соответствует набор значений

ξ, η, ζ, τ, устанавливающий это событие в системе k,

и теперь необходимо найти систему уравнении,

связывающих эти величины. Прежде всего ясно,

что эти уравнения должны быть линейными в силу

свойства однородности, которое мы приписываем

пространству и времени.

Каждому набору значений x, y, z, t, которые

полностью определяют место и время событий в

покоящейся системе, соответствует набор значений

ξ, η, ζ, τ, устанавливающий это событие в системе k,

и теперь необходимо найти систему уравнении,

связывающих эти величины. Прежде всего ясно,

что эти уравнения должны быть линейными в силу

свойства однородности, которое мы приписываем

пространству и времени.

Если мы положим x' = x — vt то ясно, что точке, покоящейся в системе k, будет принадлежать определенный, независимый от времени набор значений x', y, z.

Если мы положим x' = x — vt то ясно, что точке, покоящейся в системе k, будет принадлежать определенный, независимый от времени набор значений x', y, z.

Сначала мы определим τ как функцию от x', y, z, t.

Для этой цели мы должны выразить с помощью

некоторых соотношений, что τ по своему смыслу

есть не что иное, как совокупность показании

покоящихся в системе k часов, которые в

соответствии с изложенным в §1 правилом идут

синхронно.

Сначала мы определим τ как функцию от x', y, z, t.

Для этой цели мы должны выразить с помощью

некоторых соотношений, что τ по своему смыслу

есть не что иное, как совокупность показании

покоящихся в системе k часов, которые в

соответствии с изложенным в §1 правилом идут

синхронно.

Пусть из начала координат системы k в момент времени τ0 посылается луч света вдоль оси X в точку х' и отражается оттуда в момент времени τ1 назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени τ2; тогда должно существовать соотношение

Пусть из начала координат системы k в момент времени τ0 посылается луч света вдоль оси X в точку х' и отражается оттуда в момент времени τ1 назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени τ2; тогда должно существовать соотношение

или, выписывая аргументы функции τ и применяя

принцип постоянства скорости света в покоящейся

системе, имеем

Если х' взять бесконечно малым, то отсюда следует:

или, выписывая аргументы функции τ и применяя

принцип постоянства скорости света в покоящейся

системе, имеем

Если х' взять бесконечно малым, то отсюда следует:

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо

начала координат выбрать всякую другую точку в

качестве отправной точки луча света, и поэтому

только что полученное уравнение справедливо для

всех значений x', y, z, t.

Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z

при наблюдении из покоящейся системы всегда

при наблюдении из покоящейся системы всегда

то аналогичное рассуждение, примененное к этим

осям, дает

Так как τ линейная функция, то из этих уравнений

следует

где a — неизвестная пока функция φ(v) и ради

краткости принято, что в начале координат системы k при τ = 0 также и t = 0.

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо

начала координат выбрать всякую другую точку в

качестве отправной точки луча света, и поэтому

только что полученное уравнение справедливо для

всех значений x', y, z, t.

Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z

при наблюдении из покоящейся системы всегда

при наблюдении из покоящейся системы всегда

то аналогичное рассуждение, примененное к этим

осям, дает

 Так как τ линейная функция, то из этих уравнений

следует

 где a — неизвестная пока функция φ(v) и ради

краткости принято, что в начале координат системы k при τ = 0 также и t = 0.

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо

начала координат выбрать всякую другую точку в

качестве отправной точки луча света, и поэтому

только что полученное уравнение справедливо для

всех значений x', y, z, t.

Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z

при наблюдении из покоящейся системы всегда

при наблюдении из покоящейся системы всегда

то аналогичное рассуждение, примененное к этим

осям, дает

Так как τ линейная функция, то из этих уравнений

следует

где a — неизвестная пока функция φ(v) и ради

краткости принято, что в начале координат системы k при τ = 0 также и t = 0.

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо

начала координат выбрать всякую другую точку в

качестве отправной точки луча света, и поэтому

только что полученное уравнение справедливо для

всех значений x', y, z, t.

Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z

при наблюдении из покоящейся системы всегда

при наблюдении из покоящейся системы всегда

то аналогичное рассуждение, примененное к этим

осям, дает

Так как τ линейная функция, то из этих уравнений

следует

где a — неизвестная пока функция φ(v) и ради

краткости принято, что в начале координат системы k при τ = 0 также и t = 0.

Вот откуда появилась эта функция a и почему она зависит от скорости пока не известно. Возможно для соблюдения размерности в формуле? Или по какой-то другой причине? Не знаю. И, соответственно, не известно, что будет в другом тексте.

Пользуясь этим результатом, легко найти величины

ξ, η, ζ. С этой целью (как этого требует принцип

постоянства скорости света в сочетании с

принципом относительности) нужно с помощью

уравнений выразить то обстоятельство, что свет при

измерении в движущейся системе также

распространяется со скоростью V. Для луча света,

вышедшего в момент времени τ = 0 в направлении

возрастающих ξ, имеем

         ξ = V τ

или

Пользуясь этим результатом, легко найти величины

ξ, η, ζ. С этой целью (как этого требует принцип

постоянства скорости света в сочетании с

принципом относительности) нужно с помощью

уравнений выразить то обстоятельство, что свет при

измерении в движущейся системе также

распространяется со скоростью V. Для луча света,

вышедшего в момент времени τ = 0 в направлении

возрастающих ξ, имеем

         ξ = V τ

или